PAUL APPELL

PRINCIPAUX OUVRAGES DE M. ERNEST LEBON.

Chez M. Gauthier-Villars, Quai des Grands-Augustins, 55, Paris.

Chez MM. Delalain Frères, Boulevard Saint-Germain, 115, Paris.

Héliog. Dujardin Phot. Pirou

Imp. Ch. Wittman

SAVANTS DU JOUR

PAUL APPELL,

BIOGRAPHIE,

BIBLIOGRAPHIE ANALYTIQUE DES ÉCRITS,

PAR

Ernest LEBON,

Agrégé de l'Université,
Lauréat de l'Académie Française,
Membre des Académies de Lisbonne et de Metz,
et de la Société royale des Sciences de Liége.

PARIS,

GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,

Quai des Grands-Augustins, 55.

10 Novembre 1910.

(Tous droits réservés.)

TABLE DES MATIÈRES.

ABRÉVIATIONS.

PAUL APPELL

SECTION I.

BIOGRAPHIE.

NOTICE SUR M. PAUL APPELL.

M. Paul-Émile Appell naquit1 à Strasbourg, chef-lieu de l'ancien département du Bas-Rhin, le 27 septembre 1855. Son père, Jean-Pierre Appell, avait un atelier et un petit magasin de teinturerie place Saint-Étienne, au fond de la cour d'une maison appelée le Ritterhus en parler strasbourgeois, grande et ancienne construction surmontée de plusieurs étages de greniers auxquels on accède par un escalier de pierre tournant dans une tour: ce vieux bâtiment était rempli d'enfants qui se livraient à des jeux sans fin dans la cour ou dans les greniers. Le jeune Paul Appell fut mis au Collège Saint-Arbogast, dépendant de l'évêché, dirigé par un homme intelligent et bon, d'une haute conscience, d'un ardent patriotisme, l'abbé Uhrin. Les vacances se passaient au village natal de sa mère, Élisabeth Müller, le Klingenthal, situé dans une étroite et longue vallée des Vosges orientales, entre le mont Sainte-Odile et le Heidenkopf, toute remplie de la fraîcheur des eaux descendant de la montagne, et des bruits d'une fabrique d'armes blanches ayant appartenu à l'État Français de Louis XV à Louis-Philippe. Sa famille était profondément attachée à la France et aux idées de justice et de liberté mises en action par la Révolution Française. Son père, comme soldat français, dans une petite opération militaire en Corse, avait reçu au pied une blessure dont il souffrit toute sa vie. Son frère, Charles Appell, né d'un premier mariage, de 13 ans plus âgé que lui, s'engagea à 17 ans dans l'armée française: il prit part 2à la guerre d'Italie et fut envoyé, après la campagne, en congé de convalescence. Quand le père mourut, en 1869, ce frère aîné devint le conseiller et l'éducateur du jeune collégien, auquel il fit partager son amour passionné pour les longues courses dans les solitudes boisées des Vosges, pour les chasses patientes de la montagne et pour les chasses abondantes et faciles de la plaine d'Alsace. Il s'établit alors entre les deux frères une affection étroite, une tendresse virile chaque jour plus profonde. Pendant que le caractère de l'adolescent était ainsi développé vers l'action, l'influence d'une mère d'élite, réfléchie et laborieuse, douce mais obstinée, le poussait au travail régulier et persévérant.

Le Collège Saint-Arbogast ayant été fermé en 1868, le jeune Paul Appell passa un an en troisième au petit Séminaire de Strasbourg, et, pendant l'année scolaire 1869-1870, il suivit les cours de la classe de seconde du Lycée. La guerre ayant été alors déclarée, il vit arriver la belle armée d'Afrique, puis les sombres jours, la défaite et l'investissement. Sa famille était restée à Strasbourg pendant le siège; son frère, après avoir servi comme ambulancier volontaire sur le champ de bataille de Wœrth, rentra à Strasbourg et s'engagea immédiatement dans la Compagnie de francs-tireurs commandée par Liès-Bodard, professeur à la Faculté des Sciences. Paul Appell, âgé de 14 ans, chercha à se rendre utile en aidant, dans une cantine provisoire, installée brasserie Piton, à nourrir de pauvres gens sans travail et sans ressources. Après la capitulation, tous les établissements d'enseignement étant fermés en Alsace, il fut envoyé au Klingenthal. Son frère Charles, sorti de la ville en échappant aux Allemands, put rentrer en France par le Hohwald et les Hautes Vosges, et reprit du service dans la légion d'Alsace-Lorraine; en 1871, il fut chargé en Alsace, par le Gouvernement de la Défense Nationale, d'une périlleuse mission, interrompue par l'armistice. Vinrent alors les événements les plus tristes de tous: l'élection des derniers députés d'Alsace-Lorraine, leur protestation à l'Assemblée Nationale contre l'annexion, l'arrachement brutal des deux Provinces si attachées à la France. La famille Appell dut se séparer: la mère et le frère Charles restèrent en Alsace et devinrent officiellement allemands; le jeune Paul prit un permis d'émigration et alla opter à Nancy pour la nationalité française. Dans ces séparations douloureuses qui déchirèrent alors toutes les familles alsaciennes et lorraines, on ne saurait dire quels sont ceux qui firent le sacrifice le plus grand et le plus utile, ceux qui partirent, ou ceux qui restèrent. M. Paul Appell a lui-même rappelé les sentiments de ses compatriotes dans le passage suivant, emprunté au toast qu'il porta au Banquet de l'Inauguration du Monument Bichat à Nancy, le 13 juin 1909:

«Messieurs, permettez-moi d'ajouter quelques mots à titre personnel. La ville de Nancy réveille en moi de douloureux et puissants souvenirs. Je ne puis oublier que c'est elle qui a accueilli, après la guerre, tant d'Alsaciens, 3parmi lesquels je me trouvais, jeune collégien, il y a 37 ans. Je vois à cette table un grand nombre de mes compatriotes, ayant passé par les mêmes souffrances. Nous nous sommes trouvés, au lendemain de la guerre, dans l'affreuse nécessité de déchirer notre personnalité: nous avons laissé à l'Alsace, à notre petite patrie, notre âme, ce qu'il y a dans l'homme de plus instinctif et de plus profond, nos plus délicats, nos plus intimes souvenirs d'enfance, et les tombes de ceux qui ne sont plus; et nous avons apporté à notre grande patrie, la France, tout notre cœur, toute notre énergie, toute notre volonté de consacrer nos forces à son relèvement, et une indestructible espérance..., une espérance que j'ai vue, ce matin, symbolisée sous mes yeux par le nom de Strasbourg inscrit sur le drapeau tricolore de vos étudiants.»

Au Lycée de Nancy, de Pâques aux grandes vacances de l'année 1872, M. Paul Appell eut, comme professeur de Mathématiques spéciales, M. Pruvost, qui, sous l'ignorance d'un écolier ayant travaillé seul, reconnut d'heureuses dispositions et les encouragea: M. P. Appell lui en a gardé une grande reconnaissance. Pendant l'année scolaire 1872-1873, il suivit l'excellent cours de M. Elliot, successeur de M. Pruvost; il y fit la connaissance du jeune Henri Poincaré, avec qui il se lia d'une amitié que la vie a développée et fortifiée. Admis en 1873 à la fois à l'École Polytechnique et à l'École Normale, il entra, pour des raisons de famille, à l'École Normale, Section des Sciences. A la fin de la troisième année, le 20 juin 1876, il soutint une importante thèse de doctorat ès Sciences mathématiques. En sortant de l'École Normale, il fut reçu le premier, le 8 septembre 1876, à l'agrégation des Sciences mathématiques, et il remplit les fonctions de répétiteur d'Analyse et de Mécanique à l'École pratique des Hautes-Études. Le 1^er mars 1878, il fut nommé maître de conférences de Mathématiques à la Faculté des Sciences de Paris, et, du 11 novembre 1879 au 25 octobre 1881, il fut chargé du cours de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences de Dijon.

Le 4 juillet 1881, M. P. Appell épousa M^lle Amélie Bertrand, fille d'Alexandre Bertrand, conservateur du Musée de Saint-Germain-en-Laye, nièce de Joseph Bertrand et d'Hermite: il devenait ainsi le cousin par alliance de M. Émile Picard, son conscrit à l'École Normale.

M. P. Appell suppléa, en 1881-1882, Briot à l'École Normale et, en 1882-1883, V. Puiseux à la Sorbonne. Il fut nommé le 23 novembre 1886 professeur de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences de Paris, après avoir été chargé de ce cours pendant deux ans.

En 1888, une grande douleur assombrit la vie de M. Paul Appell. Son frère Charles, poussé à de généreuses imprudences par son ardent 4amour de la France et par son désir de hâter l'heure de la «justice immanente», fut arrêté à Strasbourg, sous l'inculpation de haute trahison envers l'Empire Allemand; après une détention préventive qui fut un long martyre, il fut traduit devant la Haute-Cour de Leipzig, où son frère Paul alla le soutenir de sa présence: il fut condamné à un an de prison et à neuf ans de forteresse. Le jugement rendait hommage à son ardent amour pour la France, «son ancienne patrie», et y trouvait des circonstances atténuantes. Le condamné subit la prison à Cottbus, puis la forteresse à Magdebourg, avec un courage et une dignité qui en imposèrent à tous ceux qui l'approchèrent; sa santé s'altérant gravement, sa peine fut interrompue en 1896, une année avant son terme régulier. Il revint alors en Alsace au Klingenthal, puis à Strasbourg; mais ni la liberté, ni l'air natal ne purent le rétablir: il passa de longs mois sans sortir, vivant de ses souvenirs, se distrayant à suivre de sa fenêtre la vie profonde de la vieille cathédrale qu'il avait vue, dans sa jeunesse, pavoisée aux couleurs françaises: il mourut en 1905(1).

Trois années auparavant, M. Paul Appell avait eu la douleur de perdre sa mère qui, depuis 1878, avait quitté l'Alsace pour venir vivre auprès de lui.

Les premiers travaux de M. Paul Appell, faits sous l'influence de Michel Chasles, se rapportent à la Géométrie projective. En généralisant la théorie de l'involution, M. P. Appell a composé sa thèse de doctorat, soutenue le 20 juin 1876, qui a pour objet l'étude des propriétés des cubiques gauches à l'aide d'une relation involutive entre trois éléments et leur application au mouvement hélicoïdal d'un corps solide. A la fin de 1876, il a publié, dans un ordre d'idées analogue, la théorie des courbes gauches unicursales du quatrième ordre. Mais, à partir de 1877, en suivant les conseils de Bouquet, il s'adonna de préférence aux recherches sur l'Analyse mathématique.

En octobre 1878, M. P. Appell donna le premier exemple de la détermination d'une singularité d'une fonction développée en série de MacLaurin, et il appliqua sa méthode au calcul d'une intégrale définie très générale relative aux séries hypergéométriques de Gauss. Il s'occupa ensuite, à des points de vue divers, des fonctions périodiques. En 1881 et en 1882, il publia une étude approfondie des fonctions périodiques générales, qui conservent la même valeur quand on fait sur la variable une opération fonctionnelle d'une certaine forme, ou qui se reproduisent, multipliées par une fonction donnée, quand on fait cette opération; il donna, comme applications, la théorie d'une classe de fonctions généralisant les fonctions eulériennes et une méthode d'intégration de certaines équations différentielles linéaires. A la fin de 1884, il exposa, pour le développement des 5fonctions elliptiques en séries trigonométriques, une méthode élémentaire qui a suggéré à M. H. Poincaré d'intéressantes remarques.

De 1882 à 1891, M. P. Appell s'est occupé tout particulièrement des fonctions elliptiques et des fonctions doublement périodiques de deuxième et de troisième espèce, avec ou sans points singuliers essentiels. En 1884, 1885 et 1886, il a créé une certaine fonction qui sert d'élément simple dans la décomposition des fonctions doublement périodiques de troisième espèce; les résultats des recherches qu'il fit alors ont été exposés en 1886 par M. G.-A. Halphen dans son Traité des Fonctions elliptiques(2), après avoir écrit cet éloge: «C'est M. Appell qui, en créant le nouvel élément simple, a conduit cette partie de la théorie au plus haut degré de perfection.» Au début de l'année 1890, il a publié une méthode a priori pour représenter une fonction elliptique par le quotient de deux séries, que l'on peut ensuite ramener aux fonctions Θ en appliquant un théorème démontré en 1887 par M. C. Guichard.

Dans la théorie générale des fonctions d'une variable, M. P. Appell a donné en 1882 et développé en 1883 un théorème, souvent appliqué, sur le développement en série d'une fonction holomorphe dans une aire limitée par des arcs de cercle. Il s'est occupé, en 1882, des fonctions uniformes d'un point sur une surface de Riemann et de leurs diverses expressions par l'intégrale de Cauchy, en faisant jouer à l'intégrale abélienne de seconde espèce le rôle que joue une certaine fonction dans la théorie relative à un seul feuillet; en 1884, il a étendu à ces fonctions uniformes des théorèmes dus à Weierstrass et à M. G. Mittag-Leffler. Aux recherches précédentes se rattache l'important Mémoire que M. P. Appell a envoyé au Concours ouvert par le roi de Suède et de Norvège Oscar II, à l'occasion du 60^e anniversaire de sa naissance, et qui a obtenu une Médaille d'Or le 21 janvier 1889, à la suite d'un élogieux Rapport de Charles Hermite. Après avoir exposé la question principale que visait l'Auteur «en entreprenant ces belles et profondes recherches où il a montré le plus remarquable talent d'invention», Ch. Hermite conclut que «le travail est l'œuvre d'un géomètre de premier ordre et qu'il sera placé au nombre des plus importantes productions mathématiques». La recherche des coefficients des développements des fonctions abéliennes en séries trigonométriques par des formules semblables à celles de Jacobi pour les fonctions elliptiques a souvent tenté les géomètres: M. P. Appell, dans ce Mémoire, a donné, pour exprimer ces coefficients, des formules qui montrent bien la différence profonde entre les deux problèmes.

Une partie importante de l'œuvre analytique de M. P. Appell a pour objet l'extension, qui offre souvent de grandes difficultés, à des fonctions de deux variables, de propositions et théories relatives aux fonctions d'une variable. Il importe de citer, dans cet ordre d'idées, les deux extensions 6suivantes qui ont été faites en 1882 et en 1883: d'abord, aux fonctions abéliennes, d'un théorème de Liouville sur les fonctions elliptiques; ensuite à une classe particulière de fonctions de deux variables, du théorème que M. G. Mittag-Leffler a fait connaître en 1876 sur les fonctions d'une variable. Après avoir découvert en 1880 les fonctions hypergéométriques de deux variables, M. P. Appell fit l'étude analytique générale des équations simultanées aux dérivées partielles qui se rencontrent dans la théorie de ces fonctions: à l'aide de ces séries, il représenta les polynomes de Ch. Hermite et de nouveaux polynomes analogues à ceux de Jacobi; à ces séries, il a rattaché, en 1883, certaines formules de Hansen et de Tisserand; les polynomes correspondants lui ont permis d'étendre, en 1890, aux intégrales doubles la méthode de Gauss pour le calcul approché des intégrales simples. Pour les fonctions de deux variables quadruplement périodiques de troisième espèce, M. P. Appell démontra, en 1890, que la célèbre relation de Riemann entre les périodes subsiste même si la fonction admet des points singuliers essentiels. En généralisant sa méthode, exposée en 1890, de représentation des fonctions elliptiques, il est parvenu à établir la théorie des fonctions de deux variables ayant quatre paires de périodes et dépourvues de singularités essentielles: d'abord il a montré a priori que ces fonctions s'expriment par le quotient de deux fonctions Θ, puis il en a déduit l'existence d'une relation algébrique entre trois de ces fonctions. Ces méthodes peuvent être étendues d'elles-mêmes aux fonctions de n variables à 2n groupes de périodes. Enfin dans ce même domaine des fonctions Θ, il a étudié une série d'exponentielles dont l'exposant est un polynome du quatrième degré du rang n, et en a déduit des fonctions de trois variables admettant un groupe de substitutions linéaires entières. De ces profondes études il faut rapprocher des recherches relatives aux fonctions qui vérifient l'équation de Laplace. De 1883 à 1884, M. P. Appell a établi, pour les fonctions harmoniques de trois variables réelles, une théorie qui est analogue à celle de la partie réelle des fonctions d'une variable complexe; il définit les pôles, les points singuliers essentiels de ces fonctions, auxquelles il étend le théorème de M. G. Mittag-Leffler. Il fait en particulier une étude des fonctions harmoniques à trois groupes de périodes, analogues à la partie réelle d'une fonction elliptique, qu'il exprime à l'aide d'un élément analytique construit comme la fonction Z de Ch. Hermite et la fonction ζ de Weierstrass, élément dont il a de nouveau parlé en 1906. En 1884 et en 1886, il a donné des applications des fonctions harmoniques à divers problèmes de Physique mathématique.

M. P. Appell a étendu, en 1880 et en 1881, aux équations différentielles linéaires et homogènes, les théorèmes relatifs aux fonctions symétriques des racines d'une équation algébrique et à la transformation des 7équations algébriques. De 1882 à 1887, il a intégré une classe particulière d'équations différentielles linéaires binomes à coefficients algébriques et d'équations différentielles linéaires dont l'intégrale générale est méromorphe sur une surface de Riemann et dont les cycles sont permutables. Puis, dans son Mémoire couronné en 1889, il a classé les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques, dans le cas où l'intégrale générale n'admet, sur une surface de Riemann, d'autres singularités que des pôles et des points critiques logarithmiques, en généralisant la classification des intégrales abéliennes. Aux équations différentielles algébriques et homogènes par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées, mais non linéaires, il a montré que l'on peut étendre la théorie des invariants, d'abord en 1887, quand ces équations sont du premier ordre et définissent la dérivée comme fonction rationnelle de l'inconnue, puis, en 1889, quand elles sont du second ordre, homogènes et du second degré par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées première et seconde. Dans le domaine des équations différentielles aux dérivées partielles, il importe de citer l'extension, publiée en 1880, d'un théorème de Fuchs aux équations simultanées généralisant celles de la théorie des fonctions hypergéométriques ainsi que l'intégration, en 1882, d'une équation dont un cas particulier avait été rencontré par Euler dans ses recherches relatives à la propagation du son.

Le principal travail de M. P. Appell en Géométrie infinitésimale est une étude approfondie du problème des déblais et des remblais, traité d'abord par Monge, proposé par l'Académie des Sciences comme question de Concours pour le prix Bordin. Le Mémoire que M. P. Appell présenta fut couronné le 21 décembre 1885, conformément aux conclusions d'un beau Rapport de M. Gaston Darboux, qui s'exprime ainsi au cours d'une analyse remplie de précieux renseignements historiques: «C'est un travail de haute valeur où sont employés, alternativement et avec le plus grand succès, les ressources de la Géométrie et les méthodes de l'Analyse moderne».

M. P. Appell fut amené par ses fonctions à faire une étude approfondie de la Mécanique rationnelle. Un théorème curieux, publié en décembre 1878 et relatif à l'interprétation des valeurs imaginaires du temps, lui permit de déduire d'une même intégration les deux mouvements que prend un système sous l'action de deux champs de force, égaux et de sens opposés. Dans une Note et un Mémoire, parus en 1886 et en 1888, il a ramené l'intégration des équations du mouvement d'un fil flexible et inextensible dans un plan à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre. Le 4 février 1889, M. P. Appell a, le premier, proposé d'employer en Mécanique la méthode, si féconde en Géométrie, de transformation des figures par projection centrale. Ses travaux 8poursuivis en 1890, 1892 et 1895 ont suggéré les recherches de plusieurs géomètres, notamment de MM. E. Goursat, Paul Painlevé, P. Staeckel et S. Dautheville. Enfin, en 1890 et en 1892, il a établi, dans la théorie de la chaleur, des propositions ayant pour but principal la recherche, quand elle est possible, des états antérieurs.

Toutes ces remarquables recherches attirèrent l'attention de l'Académie des Sciences; M. P. Appell, après avoir obtenu le prix Bordin en 1885 pour son Mémoire sur les déblais et les remblais, les prix Poncelet en 1887 et Petit d'Ormoy en 1889 pour l'ensemble de ses travaux, fut élu, le 7 novembre 1892, membre de ce corps savant, dans la Section de Géométrie. Pendant les années qui suivirent cette élection, il continua ses recherches en Analyse pure et en Analyse appliquée à la Mécanique.

On sait quelle est l'importance du problème de l'inversion des intégrales simples: en 1897, M. P. Appell a montré comment on peut définir le problème de l'inversion des intégrales doubles et multiples, par la considération d'un champ d'intégration dépendant de plusieurs paramètres variables.

Les équations de Lagrange ne sont applicables qu'aux systèmes, dits holonomes, dont les liaisons s'expriment en termes finis. M. P. Appell a donné, le 28 août 1899, une autre forme générale des équations de la Dynamique s'appliquant à tous les systèmes sans frottement, holonomes ou non, et reposant sur l'emploi de l'énergie d'accélération à la place de l'énergie de vitesse. Les études, publiées en 1903 et en 1909, sur les fonctions ayant des significations indépendantes du choix des axes, l'ont conduit à d'importants résultats relatifs aux fonctions et aux vecteurs de points en Hydrodynamique et au problème du mouvement d'un fil. Au Congrès des Sociétés savantes, en 1910, il a donné une équation fonctionnelle pour l'équilibre d'une masse liquide en rotation et soumise à l'attraction newtonienne. La question du problème de l'extinction du frottement, dans le cas d'un système matériel présentant certains caractères réalisés dans la plupart des systèmes usuels, a été signalée par M. P. Appell dans un Discours prononcé, le 4 août 1905, au Congrès tenu à Cherbourg par l'Association Française pour l'Avancement des Sciences; puis résolue d'une manière précise dans deux Notes, parues en 1907, qui peuvent être regardées comme le point de départ d'intéressantes recherches se rapportant à la Mécanique et à la Physique. Il convient de signaler encore les extensions, faites en 1892 et en 1893, des équations de Lagrange au cas où il y a frottement et à la théorie du choc et des percussions; l'intégration, faite en 1899, des équations du mouvement d'un corps pesant de révolution roulant par une arête circulaire sur un plan horizontal; les recherches, publiées en 1899 et en 91904, sur l'équilibre d'un flotteur avec un chargement liquide et sur la théorie d'un appareil à déterminer la position et la masse des balourds. Tous ces travaux de M. P. Appell ont trouvé leur place dans son Traité de Mécanique rationnelle, dont la publication a été commencée en 1893: les diverses éditions des trois volumes de cet Ouvrage, qui est très apprécié, sont analysées au début de la IV^e Section de cet Opuscule.

Le 1^er avril 1903, M. P. Appell fut élu Doyen de la Faculté des Sciences de l'Université de Paris et, en 1904, membre du Conseil supérieur de l'Instruction publique; de plus, il fait partie de la section permanente de ce Conseil. Ces fonctions absorbantes l'ont contraint à consacrer la plus grande partie de son activité à l'étude des questions relatives à l'organisation de l'Enseignement supérieur en France. Ses idées sur l'éducation et les études sont exposées dans plusieurs Discours et Articles, et, plus particulièrement, d'abord dans la Conférence sur l'Enseignement supérieur des Sciences, qu'il a faite, en février 1904, à l'École des hautes études sociales et qui a été suivie d'une intéressante discussion résumée par M. Clément Colson; ensuite dans un long Rapport que la Commission interministérielle des Grandes Écoles approuva en juillet 1904 et dont les diverses résolutions ont été appliquées dans les Programmes de l'Enseignement secondaire. En outre, depuis 1906, M. P. Appell s'est efforcé d'établir des relations cordiales et suivies entre les milieux savants Nationaux et Américains, en sa qualité de Président du Conseil de direction du Groupement des Universités et Grandes Écoles de France pour les rapports avec l'Amérique latine.

M. Paul Appell a une attitude bienveillante et une physionomie ouverte qui inspirent la confiance absolue et qui engagent à s'ouvrir complètement à lui. Comme il possède l'art de dénouer les liens d'une affaire compliquée, il rend, pour les questions administratives les plus délicates, de grands services aux Conseils et aux Ministères qui sollicitent son avis. Lorsqu'il enseigne, il expose avec tant de clarté les points les plus difficiles des théories que ses auditeurs, en sortant du cours, se croient capables de répéter, immédiatement et sans embarras, les explications qu'ils ont entendues. Aimant la jeunesse laborieuse et gaie, il accueille toujours avec cordialité les étudiants qui viennent demander un renseignement ou un conseil. Il a beaucoup lu: toutes les productions de l'esprit l'intéressent. En Sciences, hors de l'Analyse et de la Mécanique qui sont l'objet de ses recherches favorites, il s'occupe tout spécialement de Géologie et d'Astronomie.

La vie de M. Paul Appell a toujours été d'une extrême simplicité, en rapport avec les traditions alsaciennes; on peut dire qu'elle a été partagée 10entre deux sentiments: l'amour du travail et de l'action scientifique, le désir passionné de voir de nouveau réunies sa grande et sa petite patrie, la France et l'Alsace. Tous les ans, pendant les grandes vacances, il va se reposer et songer dans le pittoresque pays alsacien où son enfance s'est écoulée heureuse, dans les forêts des Vosges dont il a pénétré le charme grave et profond, en chassant avec son malheureux frère, et qu'il aime maintenant à parcourir en promeneur et à faire connaître à ses amis de France.

E. L.

GRADES. FONCTIONS. TITRES HONORIFIQUES. 11 PRIX. DÉCORATIONS.

Paul-Émile APPELL,

Né à Strasbourg (Bas-Rhin, France) le 27 septembre 1855.

Élève au Collège Saint-Arbogast, à Strasbourg, de 1864-1868.

Élève au petit Séminaire de Strasbourg, pendant l'année scolaire 1868-1869.

Élève au Lycée de Strasbourg, pendant l'année scolaire 1869-1870.

Élève en Mathématiques spéciales au Lycée de Nancy, pendant l'année scolaire 1872-1873.

Bachelier ès Lettres, reçu à Nancy, le 9 novembre 1871.

Bachelier ès Sciences, reçu à Nancy, le 14 novembre 1871.

Admis le second à l'École Normale supérieure, Section des Sciences, le 11 août 1873 et le troisième à l'École Polytechnique, le 14 octobre 1873.

Élève à l'École Normale supérieure, Section des Sciences, pendant la période triennale d'octobre 1873 à août 1876.

Licencié ès Sciences mathématiques, reçu le 8 juillet 1875.

Licencié ès Sciences physiques, reçu le 25 juillet 1875.

Docteur ès Sciences mathématiques de la Faculté des Sciences de Paris, reçu le 20 juin 1876.

Agrégé des Sciences mathématiques, reçu le premier le 8 septembre 1876.

Chargé des fonctions de répétiteur d'Analyse et de Mécanique à l'École pratique des Hautes-Études, Section des Sciences mathématiques, le 14 septembre 1876.

Maître de Conférences de Mathématiques à la Faculté des Sciences de Paris, du 1^er mars 1878 à la fin de l'année scolaire 1878-1879.

Chargé du Cours de Mécanique rationnelle et appliquée à la Faculté des Sciences de Dijon, du 11 novembre 1879 au 25 octobre 1881.

Suppléant de M. Briot à l'École Normale supérieure pour les Conférences de Mécanique et d'Astronomie pendant l'année scolaire 1881-1882.

Chargé, à la Faculté des Sciences de Paris, de Conférences préparatoires à l'Agrégation des Sciences mathématiques, du 16 décembre 1881 au 15 mars 1883.

Maître de Conférences de Mécanique et d'Astronomie à l'École Normale supérieure, nommé le 17 octobre 1882.

Suppléant de M. V. Puiseux à la Faculté des Sciences de Paris pour le Cours 12d'Astronomie mathématique et de Mécanique céleste, pendant le second semestre de l'année scolaire 1882-1883.

Autorisé à se faire suppléer par M. E. Picard à l'École Normale supérieure, pour les Conférences de Mécanique et d'Astronomie, du 25 février 1883 au 30 novembre 1885.

Chargé du Cours de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences de Paris, le 10 novembre 1883.

Professeur de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences de Paris, depuis le 23 novembre 1885.

M. P. Appell, professeur de Mécanique rationnelle à la Sorbonne, et M. P. Painlevé, professeur de Mathématiques générales à la Sorbonne, ont été autorisés à échanger leur enseignement du 19 octobre 1903 au 1^er novembre 1910.

Membre de la Commission de patronage de l'École pratique des Hautes-Études, Section des Sciences mathématiques, depuis le 16 janvier 1901.

Doyen de la Faculté des Sciences de l'Université de Paris, depuis le 1^er avril 1903.

Membre du Conseil académique de Paris et du Conseil de l'Université de Paris, au titre de Doyen de la Faculté des Sciences, depuis le 1^er avril 1903.

Membre du Conseil supérieur de l'Instruction publique, délégué par les Facultés des Sciences, depuis le 31 mai 1904. Membre de la Section permanente de ce Conseil depuis le 21 juin 1904.

Chargé de Conférences de Mathématiques à l'École Normale supérieure d'Enseignement secondaire pour les Jeunes Filles, à Sèvres, depuis le 13 novembre 1884.

Répétiteur de Mécanique à l'École Polytechnique, nommé auxiliaire le 1^er décembre 1890, nommé adjoint le 30 mai 1895. Démissionnaire le 31 janvier 1909.

Examinateur d'Admission à l'École Centrale des Arts et Manufactures, session de 1894.

Professeur d'Analyse mathématique à l'École Centrale des Arts et Manufactures, depuis le 1^er novembre 1895.

Président du Jury d'Agrégation des Sciences mathématiques de 1894 à 1903.

Président du Jury d'Agrégation de Mathématiques de l'Enseignement secondaire des Jeunes Filles, depuis 1904.

Membre de l'Académie des Sciences (Institut national de France), à Paris, élu, dans la Section de Géométrie, le 7 novembre 1892.

Membre étranger de l'Académie royale des Lincei, à Rome, élu le 17 juillet 1904.

Membre de la Société Philomathique de Paris, élu le 9 mars 1878. Membre correspondant du 11 novembre 1879 au 31 décembre 1898.

Membre associé de l'Académie de Stanislas, à Nancy, élu le 22 janvier 1904.

Docteur honoris causâ en Mathématiques de l'Université royale Frédéricienne de Christiania, élu le 6 septembre 1902.

Au Ministère de l'Instruction publique:

A l'Université de Paris:

Membre de la Commission des Inventions intéressant les Armées de terre et de mer, au Ministère de la Guerre, nommé le 14 juin 1894.

Membre de la Commission d'Aéronautique, à l'Académie des Sciences, élu le 27 octobre 1902.

Membre du Conseil de perfectionnement de l'École Polytechnique, délégué du Ministère de l'Instruction publique, le 1^er novembre 1907.

Membre du Comité de rédaction des Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, depuis janvier 1882.

Directeur de la Section de Mécanique dans l'Édition Française de l'Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées, depuis 1904.

Président de la Société mathématique de France, en 1885.

Membre du Conseil d'Administration de l'Association amicale de Secours des anciens Élèves de l'École Normale supérieure, élu le 11 janvier 1891. Vice-Président de ce Conseil de 1900 à 1906. Président de ce Conseil de 1906 à 1908. Administrateur Honoraire depuis 1908.

Vice-Président du Congrès des Mathématiciens, tenu à Paris du 6 au 12 août 1900.

Vice-Président de la Société astronomique de France, à Paris, du 5 avril 1905 au 1^er avril 1908.

Président de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences et du Conseil d'Administration, du 6 août 1907 au 8 août 1908. Élu Vice-Président le 7 août 1906. Élu Membre de la Commission permanente de Publication le 8 août 1908.

Président du Comité de direction du Groupement des Universités et Grandes Écoles de France pour les Rapports avec l'Amérique latine, depuis janvier 1907.

Président d'honneur de la Section Française de la Commission internationale de l'Enseignement mathématique, élu le 1^er mars 1909.

Vice-Président du Comité de direction de l'Office national des Universités et Écoles Françaises, élu le 15 juillet 1910.

Membre honoraire de la Société mathématique de Kharkow, élu le 12 octobre 1903 (v. s.).

Membre honoraire de la Société de Littérature et de Philosophie de Manchester, élu le 17 avril 1894.

Membre honoraire de la Société mathématique de Calcutta, élu le 28 janvier 1910.

Médaille d'Or dans le Concours international institué par S. M. le Roi de Suède et 14de Norvège Oscar II, à l'occasion du 60^e anniversaire de sa naissance, décernée le 21 janvier 1889.

Décerné par l'Académie des Sciences de l'Institut national de France:

Officier d'Académie, nommé le 23 avril 1881.

Officier de l'Instruction publique, nommé le 30 décembre 1886.

Chevalier de la Légion d'honneur, nommé le 4 mars 1889.

Officier de la Légion d'honneur, promu le 31 décembre 1895.

Commandeur de la Légion d'honneur, promu le 30 novembre 1904.

Chevalier de l'Étoile Polaire de Suède, nommé le 12 avril 1884.

SECTION II.

ANALYSE MATHÉMATIQUE.

Rapport de M. CHARLES HERMITE sur le Mémoire présenté par M. PAUL APPELL au Concours ouvert par S. M. le Roi de Suède et de Norvège OSCAR II, et récompensé d'une Médaille d'Or le 21 janvier 1889.

Les expressions des fonctions elliptiques par des séries simples de sinus et de cosinus, telles que les donne la formule de Fourier, ont, à bien des points de vue, une grande importance en Analyse. Elles ont été employées avec succès et jouent un rôle important dans beaucoup d'applications du calcul à la Physique et à l'Astronomie. Elles ont conduit Jacobi aux formules si remarquables du § 40 des Fundamenta, où le grand géomètre, allant au delà des propositions connues de l'Arithmétique, obtient le nombre de décompositions d'un entier quelconque en 2, 4, 6 et 8 carrés, exprimé au moyen des diviseurs de ce nombre. D'autres résultats, d'une nature plus cachée, sur le nombre des classes de formes quadratiques de déterminants négatifs, devaient encore découler de la même source analytique et mettre dans tout son jour l'étroite correspondance des identités de la théorie des fonctions elliptiques avec la théorie des nombres. Nous les rappelons succinctement pour faire comprendre quelles espérances on avait dû concevoir de la découverte mémorable de Göpel et Rosenhain, lorsqu'on eut, sous une forme entièrement semblable à celle des fonctions elliptiques, les fonctions quadruplement périodiques de deux variables, inverses des intégrales hyperelliptiques de première classe. Assurément il était possible de joindre aux expressions de ces nouvelles transcendantes, par des quotients de fonctions Θ, des développements en 16séries simples de sinus et de cosinus; mais la détermination effective des coefficients présente les plus grandes difficultés et n'a pu jusqu'à présent être abordée. Elle est le principal objet du Mémoire dont nous allons analyser les méthodes et les résultats.

I. La solution donnée par Jacobi du problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a pas de forces accélératrices, a été l'origine d'une notion analytique importante. Les expressions de l'illustre auteur présentent, en effet, dans le cas le plus simple, l'exemple de fonctions qui se reproduisent multipliées par des constantes lorsqu'on augmente la variable de l'une ou l'autre des périodes. On a reconnu qu'elles constituent un nouveau genre de fonctions, plus générales que les fonctions doublement périodiques, dont le rôle comme élément analytique propre se montre dans beaucoup de questions importantes. Elles s'offrent, en particulier, dans la rotation d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, dans la recherche de la figure de l'élastique gauche, dans le mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini, lorsqu'il n'y a pas de forces accélératrices, etc. Enfin elles donnent une méthode régulière, d'une application facile, pour effectuer l'intégration des équations différentielles linéaires d'ordre quelconque, à coefficients doublement périodiques, dans tous les cas où la solution est une fonction uniforme. Sous un autre point de vue, ces transcendantes peuvent encore être considérées comme provenant de l'intégrale elliptique la plus générale qui aura été mise en exponentielle, en y remplaçant la variable par un sinus d'amplitude. On peut aussi ne pas faire ce changement et conserver l'intégrale qui, suivant le contour décrit par la variable, est susceptible d'une infinité de déterminations. Ces valeurs multiples s'obtenant par l'addition de constantes, les expressions dont nous parlons auront la propriété de se reproduire, multipliées par des facteurs constants, lorsqu'on fait décrire certains chemins à la variable. Qu'au lieu de considérer la variable sur un plan unique on recoure à la conception de Riemann, de manière à remplacer, par une fonction à sens unique, affectée de coupures, une expression à déterminations multiples, on parvient à une quantité dont les valeurs, lorsqu'on passe d'un bord à l'autre de la coupure, se reproduisent multipliées par une constante. Nous nous trouvons ainsi amenés à l'idée fondamentale de l'auteur, à la notion analytique des nouvelles transcendantes, auxquelles il donne la dénomination de fonctions à multiplicateurs et dont il établit les propriétés; voici succinctement les résultats auxquels il est parvenu.

II. Son point de départ est dans la considération d'une équation algébrique de genre p, et de la surface correspondante de Riemann, rendue simplement connexe au moyen de coupures; ce sont les éléments qui lui permettent de définir d'une manière complète et précise les fonctions à 17multiplicateurs, d'après les conditions suivantes. Elles seront uniformes sur la surface, elles ne présenteront aucune autre singularité que des pôles, et elles prendront aux deux bords infiniment voisins d'une coupure des valeurs qui ne diffèrent que par des multiplicateurs constants. Ceci posé, voici un premier résultat d'une grande importance: toutes les fonctions qui satisfont aux conditions posées, leurs multiplicateurs étant des constantes données d'avance, peuvent s'exprimer au moyen des intégrales normales de troisième espèce qui sont attachées à l'équation algébrique. Viennent ensuite plusieurs théorèmes; le suivant qui est une généralisation de la proposition célèbre d'Abel, sur les intégrales de différentielles algébriques, mérite une attention particulière. Il consiste en ce que la somme des valeurs que prend une intégrale abélienne de première espèce, aux zéros d'une fonction à multiplicateurs, est égale à la somme des valeurs qui correspondent aux infinis de la même fonction, augmentée d'une constante dépendant uniquement des multiplicateurs. Après avoir déduit de là d'importantes conséquences sur le nombre des constantes arbitraires d'une fonction qui a des multiplicateurs et des pôles donnés, l'auteur démontre qu'il existe en général p-1 relations entre les pôles et les résidus d'une fonction à multiplicateurs, et p dans un cas spécial, comprenant en particulier celui des fonctions algébriques. Ce cas spécial intéressant tient à l'existence d'une fonction sans zéros, ni infinis, et qui admet les multiplicateurs donnés.

III. Les intégrales de fonctions à multiplicateurs font ensuite le sujet d'une étude approfondie. L'auteur obtient, à leur égard, un ensemble de propositions qui correspondent exactement aux théorèmes célèbres de Riemann sur les intégrales abéliennes. Nous indiquerons, comme exemples, leur classification en intégrales de première espèce qui sont toujours finies, en intégrales de deuxième espèce n'ayant que des pôles, et en intégrales de troisième espèce où s'offrent des infinis logarithmiques. Nous citerons encore cette importante proposition, qu'en général il existe p-1 intégrales de première espèce, linéairement indépendantes, et p dans le cas particulier dont il a été question précédemment. Les modules de périodicité de ces intégrales, le long des coupures, sont liés aux multiplicateurs par des relations qui deviennent identiques lorsque les multiplicateurs se réduisent à l'unité et que les intégrales deviennent abéliennes. Entre les modules de périodicité de deux intégrales de première espèce, à multiplicateurs inverses, existe une équation qui coïncide, dans le cas particulier des multiplicateurs égaux à l'unité, avec la relation d'une importance capitale découverte par Riemann, entre les modules de périodicité de deux intégrales abéliennes de première espèce. Enfin l'auteur forme les intégrales normales de fonctions à multiplicateurs de deuxième et de troisième espèce; il établit des relations entre les modules de périodicité de 18ces intégrales et leurs multiplicateurs, puis d'autres entre ces modules et ceux d'une intégrale de première espèce aux multiplicateurs inverses. L'ensemble de ces résultats rend manifeste l'analogie de la nouvelle théorie avec celle des intégrales abéliennes; la différence de nature analytique entre les deux genres de quantités apparaît toutefois dans cette circonstance, qu'il existe une intégrale de troisième espèce, avec un seul infini logarithmique, tandis qu'une intégrale abélienne de troisième espèce possède au moins deux infinis de cette nature. En dernier lieu, nous signalerons, dans la théorie des intégrales de deuxième espèce, ce théorème d'un grand intérêt, que toute fonction à multiplicateurs s'exprime par une somme d'intégrales de seconde espèce, ayant les mêmes multiplicateurs et devenant chacune infinie en un seul point. C'est, comme on le voit, la généralisation de la belle formule de Riemann-Roch, qui représente une fonction algébrique quelconque par une somme d'intégrales abéliennes de deuxième espèce.

IV. Nous venons d'indiquer rapidement les points les plus essentiels de la théorie des fonctions à multiplicateurs. Nous avons montré qu'elle a pour première origine les fonctions algébriques, leurs propriétés et celles de leurs intégrales, telles que Riemann les a fait connaître; nous avons montré qu'elles constituent par l'ensemble de leurs caractères de nouveaux éléments analytiques où l'on retrouve, dans un sens beaucoup plus général, toutes les propriétés des fonctions doublement périodiques de deuxième espèce. Il nous faut maintenant revenir à la question principale que l'auteur a eue en vue en entreprenant ces belles et profondes recherches où il a montré le plus remarquable talent d'invention. Son but était d'obtenir les intégrales définies réelles qui représentent les coefficients des développements, par la formule de Fourier, des fonctions elliptiques et des fonctions abéliennes de deux variables à quatre paires de périodes simultanées. Un changement de variables le conduit d'abord à des fonctions à multiplicateurs, et, pour le cas des sinus d'amplitude qu'il traite en premier lieu, ses principes généraux lui permettent d'obtenir les coefficients du développement avec autant de simplicité que d'élégance. En appliquant ensuite la même méthode aux transcendantes de Göpel et de Rosenhain, il trouve les coefficients sous la forme d'une fonction rationnelle des constantes p, q, r qui figurent dans les fonctions Θ à deux variables, multipliée par une intégrale définie où entrent deux entiers indéterminés. C'est, pour la théorie des fonctions abéliennes, un résultat du plus haut intérêt: il donne la solution d'une question restée jusqu'ici inabordable, sous une forme qui permettra d'en poursuivre les conséquences; il ouvre la voie pour l'étude approfondie des développements par la formule de Fourier, des fonctions abéliennes, et obtenir pour ces fonctions des développements procédant suivant les puissances des trois 19quantités p, q, r. On peut donc attendre de voir ainsi se combler une grande lacune dans la théorie de ces transcendantes; on peut donc espérer de voir se rétablir, autant que le comporte la nature des choses, l'analogie avec les fonctions elliptiques, dans ce point d'une importance capitale où elles se lient aux propriétés des nombres. Pressé par la date fixée pour le terme du concours, l'auteur a dû ajourner ces recherches qui auraient pu devenir le couronnement de son beau et savant Mémoire. Mais il a grandement accompli sa tâche en posant les fondements d'une théorie qui ajoute au domaine de l'Analyse un nouveau genre de fonctions, dont il a encore indiqué une autre application importante à l'intégration des équations linéaires d'ordre quelconque à coefficients algébriques.

Nous pensons, en résumé, que le travail dont nous venons de faire l'exposé est l'œuvre d'un géomètre de premier ordre, et qu'il sera placé au nombre des plus importantes productions mathématiques qui aient appelé dans ces dernières années l'attention des analystes.

OUVRAGES. 20

1. Notice sur les Travaux scientifiques de M. PAUL APPELL,

2. Théorie des Fonctions algébriques et de leurs Intégrales, par PAUL APPELL et ÉDOUARD GOURSAT.

Étude des Fonctions analytiques sur une surface de Riemann.

3. Principes de la Théorie des Fonctions elliptiques et Applications, par P. APPELL et É. LACOUR.

214. Éléments d'Analyse mathématique,

MÉMOIRES. NOTES.

Analyse pure:

1º Fonctions d'un point analytique.

1. Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leur application au développement des fonctions abéliennes en séries trigonométriques.

2. 3. Sur les fonctions uniformes d'un point analytique (x, y).

22 4. Théorèmes sur les fonctions d'un point analytique.

5. Sur une classe de fonctions dont les logarithmes sont des sommes d'intégrales abéliennes de première et de troisième espèce.

6. Relations entre les résidus d'une fonction d'un point analytique (x, y) qui se reproduit, multipliée par une constante, quand le point (x, y) décrit un cycle.

7. Généralisation des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

2º Séries. Intégrales définies. Généralités sur les fonctions d' une variable.

8. Sur certaines séries ordonnées par rapport aux puissances d'une variable.

9. Évaluation d'une intégrale définie.

10. Sur la série hypergéométrique et les polynomes de Jacobi.

23 11. Sur les séries divergentes à termes positifs.

12. Développement en série entière de (1 + ax)^1∕x.

13. Développement en séries trigonométriques des polynomes de M. Léauté.

14. Sur une classe de polynomes.

15. 16. Développements en série d'une fonction holomorphe dans une aire limitée par des arcs de cercle.

17. Développements en série dans une aire limitée par des arcs de cercle.

2418. Sur certains développements en série de puissances.

19. Définition d'une opération sur les fonctions.

3º Fonctions périodiques et doublement périodiques d'une variable. Périodicité générale.

20. Sur une méthode élémentaire pour obtenir les développements en série trigonométrique des fonctions elliptiques.

21. Sur un problème d'interpolation relatif aux fonctions elliptiques.

22. Sur les fonctions elliptiques.

23. Sur une expression nouvelle des fonctions elliptiques par le quotient de deux séries.

24. Décomposition en éléments simples des fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

2525 à 27. Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

28. Développements en séries des fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

29. Application du théorème de M. Mittag-Leffler aux fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

30. Quelques exemples de séries doublement périodiques.

31. Formation d'une fonction F(x) possédant la propriété F[φ(x)] = F(x).

2632. Sur les fonctions telles que

33. Sur quelques applications de la fonction Γ(x) et d'une autre fonction transcendante.

34. Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes étudiées par M. Heine.

35. Sur une classe de fonctions qui se rattachent aux fonctions de M. Heine.

36. Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes.

37. Sur les fonctions uniformes doublement périodiques à points singuliers essentiels.

4º Fonctions de plusieurs variables. Fonctions abéliennes; fonctions de deux variables à deux, trois ou quatre paires de périodes. Fonctions hypergéométriques de deux variables. Inversion des intégrales multiples.

38. Sur une classe de fonctions de deux variables indépendantes.

39. Propositions d'Algèbre et de Géométrie déduites de la considération des racines cubiques de l'unité.

40. Sur certaines fonctions analogues aux fonctions circulaires.

41. Sur des fonctions uniformes de deux points analytiques qui sont laissées invariables par une infinité de transformations rationnelles.

42. Sur un cas de réduction des fonctions Θ de deux variables à des fonctions θ d'une variable.

2843. Sur des cas de réduction des fonctions Θ de plusieurs variables à des fonctions Θ d'un moindre nombre de variables.

44. Sur une fonction analogue à la fonction Θ.

45. Exemples de fonctions de plusieurs variables admettant un groupe de substitutions linéaires entières.

46. Sur les fonctions de Bernoulli à deux variables.

47. Sur des fonctions de deux variables à trois ou quatre paires de périodes.

48. Sur certaines expressions quadruplement périodiques.

49. Sur les fonctions de deux variables à plusieurs paires de périodes.

50. Sur les fonctions de deux variables quadruplement périodiques de troisième espèce.

51. 52. Sur les fonctions périodiques de deux variables.

53. 54. Sur les fonctions abéliennes.

55. 56. Sur l'inversion des intégrales abéliennes.

57. Formes des intégrales abéliennes des diverses espèces.

58. Sur les fonctions abéliennes considérées comme fonctions algébriques de fonctions d'une variable.

59. Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles.

60. Sur la série F₃ (α, α', β, β', γ, x, y).

30 61. Sur quelques formules relatives aux fonctions hypergéométriques de deux variables.

62. Sur des polynomes de deux variables analogues aux polynomes de Jacobi.

63. Sur les fonctions hypergéométriques de deux variables.

64. Sur certaines formules de Hansen et de M. Tisserand.

65. Sur une formule de M. Tisserand et sur les séries hypergéométriques de deux variables.

66. Les polynomes d'Hermite rattachés aux polynomes de Legendre.

67. Quelques propriétés des polynomes U_{m, n} d'Hermite et des polynomes X_n de Legendre.

31 68. Sur une classe de polynomes à deux variables et le calcul approché des intégrales doubles.

69. 70. Sur un mode d'inversion des intégrales multiples.

71. Exemples d'inversion d'intégrales doubles.

5º Équations différentielles ordinaires. Invariants.

72. Sur des polynomes satisfaisant à une équation différentielle du troisième ordre.

73. Sur certaines équations différentielles linéaires contenant un paramètre variable.

74. Intégration de certaines équations différentielles à l'aide des fonctions Θ.

75. Sur les équations différentielles linéaires à une variable indépendante.

32 76. Sur la transformation des équations différentielles linéaires.

77. Sur les équations différentielles linéaires.

78. Sur une classe d'équations différentielles linéaires.

79. Sur une classe d'équations différentielles linéaires dont les coefficients sont des fonctions algébriques de la variable indépendante.

80. Sur une classe d'équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques.

81. Sur une classe d'équations différentielles linéaires à coefficients algébriques.

3382. Sur des équations différentielles linéaires dont les intégrales vérifient des relations de la forme F[φ(x)] = ψ(x)F(x).

83. Mémoire sur les équations différentielles linéaires.

84. 85. Sur une classe d'équations différentielles linéaires binomes à coefficients algébriques.

86. Sur les fonctions uniformes affectées de coupures et sur une classe d'équations différentielles linéaires.

87. Sur des équations linéaires intégrables à l'aide de la fonction χ_m(x, y).

88. Sur une classe d'équations différentielles réductibles aux équations linéaires.

3489. 90. Sur des équations différentielles linéaires transformables en elles-mêmes par un changement de fonction et de variable.

91. Sur les équations différentielles algébriques et homogènes par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées.

92. Sur les invariants des équations différentielles.

93. Sur les invariants de quelques équations différentielles.

3594. Sur les équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants.

95. Observations sur une Communication de M. C. Bourlet,

96. Sur le théorème de Poisson et un théorème récent de M. A. Buhl.

6º Équations aux dérivées partielles. Potentiels triplement périodiques. Potentiels multiformes.

97. Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles.

98. Sur certaines équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles.

3699. Sur une équation linéaire aux dérivées partielles.

100. Sur les fonctions satisfaisant à l'équation ΔF = 0.

101. Sur les fonctions de trois variables réelles satisfaisant à l'équation différentielle ΔF = 0.

102. 103. Développements en séries trigonométriques de certaines fonctions vérifiant l'équation du potentiel ΔF = 0.

37 104. Sur les fonctions harmoniques à trois groupes de périodes.

105. 106. Sur des potentiels conjugués.

107. Quelques remarques sur la théorie des potentiels multiformes.

Analyse appliquée à l'Algèbre.

1. Sur les fractions continues périodiques.

2. Sur les polynomes qui expriment la somme des puissances p^ièmes des n premiers nombres entiers.

383. Sur les valeurs approchées des polynomes de Bernoulli.

4. Sur une suite de polynomes ayant toutes leurs racines réelles.

ARTICLE.

1. Sur les fonctions sphériques et autres analogues.

SECTION III.

GÉOMÉTRIE.

Extrait du Rapport lu par M. GASTON DARBOUX, en décernant a M. PAUL APPELL, au nom de l'Académie des Sciences, le Prix BORDIN pour son «Mémoire sur les Déblais et les Remblais», le 21 décembre 1885.

Dans la question proposée en 1884, comme sujet du prix Bordin (Géométrie), l'Académie demandait aux concurrents, soit l'étude générale du problème des déblais et des remblais, soit la solution dans un cas simple choisi par l'auteur du Mémoire.

L'étude de ce beau problème remonte à Monge qui, dans un Mémoire publié en 1781, où se trouvent développées d'une manière incidente la théorie des lignes de courbure et les propriétés des systèmes de rayons rectilignes, s'était posé la question générale suivante:

Deux volumes équivalents étant donnés, les décomposer en parcelles infiniment petites et deux à deux équivalentes, se correspondant suivant une loi telle que, si l'on multiplie le chemin parcouru par chaque parcelle, transportée sur celle qui lui correspond, par le volume de cette parcelle, la somme des produits ainsi obtenus soit un minimum.

Dans le cas où les volumes peuvent être assimilés à des aires planes situées dans le même plan, Monge résout complètement le problème en remarquant que les routes de transport, lorsqu'elles forment un système continu, doivent détacher dans le déblai et dans le remblai des aires égales. Dans le cas où les routes ne peuvent former un système continu, il présente quelques remarques, complétées depuis par Dupin dans un Mémoire sur le même sujet, qui fait partie des Applications d'Analyse, de Géométrie et de Méchanique. Enfin Monge, abordant le cas le plus difficile, celui où le déblai et le remblai sont des volumes, nécessairement équivalents, fait connaître la proposition suivante, qui est la pierre angulaire de cette théorie:

Les routes de transport doivent servir chacune à une infinité de 40parcelles, et elles sont nécessairement normales à une famille de surfaces parallèles.

Mais il faut avouer que les raisonnements par lesquels Monge est conduit à ce beau théorème n'entraînent, en aucune manière, l'adhésion; ce point essentiel, malgré l'étude nouvelle qui en a été faite par Dupin, attendait encore une démonstration solide et appelait de nouvelles recherches.

La Commission espérait donc rencontrer, dans quelques-uns des Mémoires soumis à son examen, la preuve complète et l'étude générale du théorème de Monge; elle désirait aussi, sans trop oser l'espérer à cause de la difficulté de la question, obtenir l'intégration complète, dans un cas suffisamment étendu, de l'équation aux dérivées partielles du second ordre, déjà formée par Monge, qui sert à déterminer la surface normale à toutes les routes.

Le Mémoire inscrit sous le nº 5 répond d'une manière complète aux espérances aussi bien qu'aux vœux de la Commission. C'est un travail de haute valeur où sont employées, alternativement et avec le plus grand succès, les ressources de la Géométrie et les méthodes de l'Analyse moderne; il réalise un progrès considérable dans l'étude de la question mise au concours. Au début de son Mémoire, l'auteur s'élève de la considération d'un système de points isolés à celle des masses continues. Il énonce, sous le nom de principe de translation, principe de symétrie, etc., un certain nombre de propositions élégantes et simples, dont l'application rendra certainement de grands services dans la pratique. Nous signalerons plus particulièrement deux propositions faisant connaître deux systèmes différents de routes, d'une définition très générale et réalisant, l'un et l'autre, le minimum absolu du prix de transport.

Dans la deuxième Partie de son travail, l'auteur du Mémoire nº 5, après avoir démontré que les routes forment un système continu ou se décomposent en plusieurs systèmes continus, applique la méthode des variations au problème de Monge, et il établit le théorème fondamental, sans même supposer que la densité soit constante à l'intérieur du déblai ou du remblai. Enfin il examine le cas où les routes se partagent en plusieurs systèmes continus et il indique les moyens de déterminer les surfaces séparatrices, c'est-à-dire les surfaces auxquelles viennent aboutir les routes appartenant à deux systèmes différents et continus.

Dans le cas des aires planes, nous l'avons déjà rappelé, le problème de Monge peut recevoir une solution complète où ne figurent que des quadratures. On devait se demander si, dans l'espace, l'équation aux dérivées partielles donnée par Monge n'est pas, elle aussi, intégrable dans tous les cas et d'une manière générale. Les résultats obtenus par l'auteur du Mémoire donnent une réponse complète à cette question difficile. Dans le cas où, par exemple, les volumes se réduisent à des aires planes situées dans des plans parallèles, l'intégration de l'équation de Monge est ramenée à celle 41des surfaces minima si les aires ont même densité, et à celle des surfaces à courbure constante si les densités sont différentes.

Ces exemples sont précieux, parce qu'ils prouvent qu'on doit renoncer à intégrer dans tous les cas l'équation du second ordre de Monge; mais aussi parce qu'ils ont permis à l'auteur de signaler avec netteté les difficultés nouvelles et sérieuses qu'on rencontrera, même après avoir intégré cette équation.

Ces difficultés sont de la nature de celles qui se présentent dans la théorie des surfaces minima. Si l'on considère toutes les surfaces formant une nappe continue passant par une courbe fermée, le calcul des variations apprend que la surface d'aire minimum aura, en chaque point, ses rayons de courbure égaux et de signes contraires. L'équation aux dérivés partielles de cette surface une fois intégrée, la condition à laquelle elle est assujettie de passer par la courbe ne permet pas de déterminer complètement les deux fonctions arbitraires dont elle dépend. Il existe une infinité de surfaces minima contenant la courbe; mais ces surfaces ne satisfont pas toutes, on le sait, à la condition, supposée cependant par le calcul des variations, de former une nappe continue reliant les uns aux autres tous les points de la courbe. On ne peut déterminer les deux fonctions arbitraires qu'en employant des considérations tout à fait indépendantes de la méthode des variations, puisque la condition à laquelle il s'agit de satisfaire est supposée remplie au moment même où commence l'application de cette méthode. Le problème auquel on est ainsi conduit arrête aujourd'hui encore les efforts des géomètres et n'a pu être résolu que dans quelques cas particuliers.

La solution du problème de Monge présente des difficultés analogues et peut-être plus grandes. Les fonctions arbitraires d'une variable, qui entrent dans les équations du système des routes, doivent être déterminées par la condition que les routes forment un système continu, permettant de transporter dans l'ensemble du remblai la totalité des parcelles qui composent le déblai. La condition, évidente a priori, que les routes limites soient tangentes à la fois à la surface du déblai et à celle du remblai ne fait connaître qu'une de ces deux fonctions et il n'existe, comme dans la théorie des surfaces minima, aucune règle fixe et précise conduisant à la solution complète de la question proposée. Des exemples bien choisis jettent beaucoup de lumière sur cette discussion délicate.

Les indications rapides qui précèdent suffiront à montrer toute l'importance des résultats obtenus par l'auteur du Mémoire nº 5....

MÉMOIRES. NOTES. 42

Géométrie infinitésimale.

1. Sur les propriétés des cubiques gauches et le mouvement hélicoïdal d'un corps solide.

2. Sur une propriété caractéristique des hélices.

3. Mémoire sur les Déblais et les Remblais des systèmes continus ou discontinus.

4. Surfaces telles que l'origine se projette sur chaque normale au milieu des centres de courbure principaux.

43Géométrie analytique.

1. Note sur les cubiques gauches.

2. 3. Sur une classe particulière de courbes gauches unicursales du quatrième ordre.

4. Théorème général sur les courbes unicursales.

5. Théorème concernant les courbes dont les tangentes font partie d'un complexe de droites du premier ordre.

6. Sur l'homographie d'ordre supérieur.

7. Sur une représentation des points imaginaires en Géométrie plane.

8. Sur les familles de courbes orthogonales uniquement composées de coniques.

9. Sur les points d'intersection d'une conique fixe par une conique mobile passant par deux points fixes.

10. Sur les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire.

44 11. Sur les courbes autopolaires par rapport à une conique donnée.

12. Courbes autopolaires.

13. Sur le degré de réalité d'une courbe algébrique à coefficients réels.

14. Sur les lignes asymptotiques de la surface représentée par l'équation XYZ = T³.

15. Sur les conditions qui expriment qu'un système de trois axes est trirectangle.

16. Exercices sur les courbes de direction.

17. Exercice sur la détermination du point double d'une cubique plane unicursale.

18. Exercices sur la détermination des points doubles d'une quartique plane unicursale.

19. Sur le cylindroïde.

45 20. Propriété caractéristique du cylindroïde.

21 à 32. Principales Notes dans l'Ouvrage intitulé «Leçons de Géométrie analytique par C. Briot et J.-C. Bouquet».

ARTICLE.

1. Le Problème des Déblais et des Remblais.

SECTION IV.

MÉCANIQUE RATIONNELLE
ET
PHYSIQUE MATHÉMATIQUE.

OUVRAGES.

1. Cours de Mécanique Rationnelle,

2. Leçons sur l'Attraction et la fonction potentielle,

3. Traité de Mécanique rationnelle.

4. Précis de Mécanique rationnelle par P. APPELL et S. DAUTHEVILLE.

Introduction à l'Étude de la Physique et de la Mécanique appliquée.

5. Cours de Mécanique.

6. Cours de Mécanique.

7. Leçons de Mécanique élémentaire, par P. APPELL et J. CHAPPUIS.

8. Leçons de Mécanique élémentaire, par P. APPELL et J. CHAPPUIS.

9. Leçons de Mécanique élémentaire, par P. APPELL et J. CHAPPUIS.

5110. Leçons de Mécanique élémentaire, par P. APPELL et J. CHAPPUIS.

11. Les Mouvements de roulement en Dynamique.

MÉMOIRES. NOTES.

Mécanique rationnelle.

1. Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique.

2. Remarques sur l'introduction de fonctions continues n'ayant pas de dérivée, dans les éléments de la Mécanique.

3. Sur la chaînette sphérique.

4. 5. De l'homographie en Mécanique.

6. Sur une transformation de mouvement et les invariants d'un système en Mécanique.

7. Sur des transformations de mouvement.

8. Sur une transformation de mouvements.

9. Réduction à la forme canonique des équations d'équilibre d'un fil flexible et inextensible.

10. Sur l'équilibre d'un fil flexible et inextensible.

11. Sur certaines propriétés d'une position d'équilibre d'un système.

12. 13. Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe.

14. Quelques remarques sur les équations du mouvement d'une chaîne parfaitement flexible.

15. Remarque sur les courbes brachistochrones.

16. Du tautochronisme dans un système matériel.

17. Remarque sur une Note de M. G. di Pirro,

54 18. Remarques sur une Note de M. Levi-Civita,

19. Sur les équations de Lagrange et le principe d'Hamilton.

20. Sur les mouvements de roulement; équations du mouvement analogues à celles de Lagrange.

21. 22. Sur une forme générale des équations de la Dynamique.

23. Sur une forme nouvelle des équations de la Dynamique.

24. Développements sur une forme nouvelle des équations de la Dynamique.

25. Sur une forme générale des équations de la Dynamique et sur le principe de Gauss.

55 26. Remarques d'ordre analytique sur une nouvelle forme des équations de la Dynamique.

27. Sur le principe de la moindre contrainte de Gauss.

28. Extension des équations de Lagrange au cas du frottement de glissement.

29. Sur l'extinction du frottement.

30. Sur la tendance des systèmes matériels à échapper au frottement.

31. Sur un théorème relatif au déplacement initial d'un système sans frottement.

32. 33. Sur l'emploi des équations de Lagrange dans la théorie du choc et des percussions.

34. Remarques sur les systèmes non holonomes.

56 35. 36. Sur le théorème des aires.

37. Sur le mouvement d'un point en coordonnées elliptiques.

38. Sur les lois de forces centrales faisant décrire à leur point d'application une conique, quelles que soient les conditions initiales.

39. Interprétation de la période imaginaire dans un mouvement à la Poinsot.

40. Sur l'intégration des équations du mouvement d'un corps pesant de révolution roulant par une arête circulaire sur un plan horizontal; cas particulier du cerceau.

41. Sur l'équation différentielle du mouvement d'un projectile sphérique pesant dans l'air.

5742. Remarque relative à un Mémoire de M. Lucio Silla,

43. Sur les lignes qui se conservent dans la déformation d'un milieu continu.

44. Lignes correspondantes dans la déformation d'un milieu; extension des théorèmes sur les tourbillons.

45. Déformation spéciale d'un milieu continu; tourbillons de divers ordres.

46. Sur les expressions des tensions en fonction des déformations dans un milieu élastique homogène et isotrope.

47. Note sur les expériences du commandant Hartmann.

48. Sur quelques fonctions et vecteurs de points dans le mouvement d'un fluide.

49. Sur quelques fonctions de point dans le mouvement d'un fluide.

50. Sur les fonctions et vecteurs de point contenant uniquement les dérivées premières des composantes de la vitesse.

58 51. Sur les positions d'équilibre d'un navire avec un chargement liquide.

52. Équilibre d'un flotteur avec un chargement liquide.

53. Remarques sur une Note de M. P. Duhem,

54. Sur l'équilibre d'un flotteur avec un chargement liquide.

55. 56. Équation fonctionnelle pour l'équilibre d'une masse liquide en rotation sous l'attraction newtonienne.

57. Machine à déterminer les balourds.

59Physique mathématique.

1. Sur la théorie de la chaleur.

2. Sur l'équation

3. Sur la distribution du potentiel dans des masses liquides limitées par des faces planes.

4. Sur la distribution du potentiel dans une masse liquide ayant la forme d'un prisme rectangulaire indéfini.

5. Sur quelques applications de la fonction Z (x, y, z) à la Physique mathématique.

6. Mouvement d'une particule électrisée soumise à l'action d'un point électrique et d'un pôle magnétique confondus.

SECTION V.

HISTOIRE DES SCIENCES.

DISCOURS.

1. Sur quelques questions de Mécanique rationnelle.

DISCOURS NÉCROLOGIQUES.

1 à 5. Discours prononcés par M. P. Appell,

M. Daguillon, le 19 juillet 1908.

M. François, le 18 mars 1908.

M. Jules Bonnier, le 11 mai 1908.

61M. Henri Pellat, le 22 décembre 1909.

M. Louis Raffy, le 11 juillet 1910.

NOTICES NÉCROLOGIQUES.

1. Notice sur la Vie et les Travaux de Pierre-Ossian Bonnet.

2. Sur Charles Hermite.

3. Sur Paul Hautefeuille, Munier Chalmas; Émile Duclaux; Henri Dufet; Pierre Curie; Moissan; Giard, Daguillon, François, Jules Bonnier; Ditte, Bouveault, Krouchkoll.

RAPPORTS.

1 à 3. Rapports sur divers Concours de Prix décernés par l'Académie des Sciences.

62ARTICLES.

1. La Vie et l'Œuvre de Jacobi.

2. La Géométrie descriptive en 1612.

SECTION VI.

ÉDUCATION ET ENSEIGNEMENT.

DISCOURS.

1. A la Réception des Universités Françaises par l'Université de Londres,

2. 3. A la Distribution solennelle des Prix du Lycée Saint-Louis en 1904, et à la Séance solennelle de fin d'année de l'École Alsacienne en 1906,

4. Au Banquet des anciens Élèves de l'Institut de Chimie appliquée de l'Université de Paris,

5. L'Enseignement scientifique à l'Université de Paris,

646. 7. Aux 59^e et 60^e Réunions générales annuelles de l'Association amicale de Secours des anciens Élèves de l'École Normale supérieure,

8. L'Enseignement des Sciences et la Formation de l'esprit scientifique,

9. 10. A l'Inauguration du Monument Bichat,

11. Sur l'Administration de M. G. Darboux,

12. Félicitations à M. Louis Liard,

65CONFÉRENCE.

1. L'Enseignement supérieur des Sciences,

RAPPORTS.

1. à 7. Rapports au Conseil de l'Université de Paris sur la situation de l'Enseignement supérieur,

8. La Réforme des Programmes d'admission aux Grandes Écoles.

66 9. Vœu relatif à l'Enseignement secondaire des Jeunes Filles.

10 à 14. Relativement au Groupement des Universités et Grandes Écoles de France pour les Rapports avec l'Amérique latine:

15. Le statut des chefs de travaux et des préparateurs dans les Facultés des Sciences et les Écoles de Pharmacie.

ARTICLES.

1. Note sur la théorie du frottement de roulement.

672. Sur les équations de l'Hydrodynamique et la théorie des tourbillons.

3. Notion de l'infini en Géométrie élémentaire,

4. Sur la classe de Mathématiques spéciales.

5. Faut-il supprimer le baccalauréat?

6. Les Sciences dans l'Éducation nationale.

7. La Faculté des Sciences de l'Université de Paris de 1895 à 1910.

SECTION VII.

PUBLICATIONS DIVERSES.

QUESTIONS PROPOSÉES. LEÇONS.

1 à 5. Questions proposées sur certaines intégrales algébriques;—sur la projection horizontale de la courbe décrite par l'extrémité d'un pendule sphérique;—sur la convergence d'une certaine série;—sur la tangente à la courbe y = f(x), où f(x) est une fonction uniforme continue sans dérivée;—sur la recherche d'une certaine formule de la surface d'un polygone convexe inscriptible de n côtés.

6. Question proposée en Algèbre supérieure.

7. Question proposée en Géométrie analytique.

8. Quantités complexes.

RAPPORTS.69

1. Rapport sur un Mémoire de M. Jean Mascart,

2. Rapport sur un Mémoire de M. Torres Quevedo,

3. Rapport sur une Note de M. Torres Quevedo,

4. Rapport relatif à une proposition faite par l'Académie royale des Sciences de Madrid à l'Association Internationale des Académies,

5. Sur l'application du Calcul des Probabilités.

PRÉFACES. ANALYSES.

1. Préface d'un Ouvrage de M. G. Papelier,

70

2. Préface de la traduction par J. Griess d'un Ouvrage de M. Alfred George Greenhill,

3. Préface d'un Ouvrage de M. Chassagny,

4. Analyse d'un Ouvrage de M. Maurice d'Ocagne,

5. Analyse d'un Ouvrage de M. C. de Freycinet,

6 à 16. Analyses de Thèses pour le grade de Docteur ès Sciences mathématiques,

17. Présentation à l'Académie des Sciences d'une Note de M. E. Lebon,

(Le nombre des Écrits de M. Paul Appell est de 306.)

Paris.—Imp. Gauthier-Villars, 55, quai des Grands-Augustins.